بلانت در واندزوورث لندن به دنیا آمد و دومین فرزند از میان چهار فرزند خانواده است. او دختر جوآنا، یک بازیگر سابق و معلم، و الیور سیمون پیتر بلانت وکیل مدافع است. فیلیسیتی، سباستین و سوزانا خواهر و برادر او هستند. پدربزرگ او سرلشکر پیتر بلانت بود و یکی از عموهایش کریسپین بلانت، نماینده مجلس و عضو حزب محافظهکار است.
بلانت از سن ۷ تا ۱۴ سالگی مبتلا به لکنت زبان بود. او از کمک یک معلم مدرسه برای غلبه بر لکنت زبان از طریق بازیگری بهره برد. او بعداً عضو هیئت مدیره مؤسسه آمریکایی لکنت زبان شد. بلانت به مدرسه ایبستوک پلیس رفت و در ۱۶ سالگی، به هارتوود هاوس، یک کالج خصوصی که برای برنامههای هنرهای نمایشی اش شناخته شده بود وارد شد که در آنجا استعداد او توسط یک نماینده کشف شد.